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¿#D6. 數學: 國際商務決策與分析
平均數誤謬: 駱駝商隊過河，馬化騰，恆隆行Dyson 5-30K，Family預售，OTT Over-the-top 數據買節目:百度愛奇藝90%，
三人酒吧€25，甲帶六餅乙三，一百萬或一億，罰10萬或10年，誠實村，公主。
數學裡有個美好的詞，
叫做──求和。
有個遺憾的詞，
叫做──無解。
有個霸氣的詞，
叫做──有且僅有。
有個悲傷的詞，
叫做──無限接近，卻永不相交。
有個模糊的詞，
叫做──約等於。
有個遙遠的詞，
叫做──未知數。
有個單調的詞，
叫做──無限循環。
有個堅定的詞，
叫做──絕對值。
而人這一生，
又何嘗不是這些字的組合呢？
乘法中，
一方為零，結果便為零。
我們不斷努力去解那些難題，
把除不盡的，也想除盡。
最想見到的人，最想做的事，
終究成了──平行線，永不相交。
#1. 加法思維
減法思維: 中學好好念書上大學
一間自助餐廳，因顧客浪費嚴重導致效益不好，餐廳就訂了一個規則：凡是浪費者，罰款10塊，結果生意一直下跌。
後來經高人指點，把自助餐售價提高10塊。規則改成：凡是沒有浪費食物的，獎勵10塊，結果生意火爆，且浪費的現象也基本消失。
加法思維: 駱駝、計程車
乘法思維: 100 x 100
除法思維：退出低效市場、簡化供應鏈、只保留關鍵節點。結果：全球風險降低、效率提高、投報率反而提升。去蕪存精，刪去不重要的事，讓資源做最大發揮。斷尾求生？
Steve Job回歸後，砍掉70%產品線。
Zara不做廣告，靠連鎖店資訊做決策。
Ikea沒有業務員。
Wii去除高階硬體。
CEO每天只做三件事。
瑞典去掉考試，讓學生思考。
十七隻駱駝的難題
有三個兄弟，父親去世後留下 17 隻駱駝，並在遺囑中說明：
長子得到 1/2(即一半)
次子得到 1/3(三分之一)
幼子得到 1/9(九分之一)
問題來了：如果照數學計算，駱駝不能切半，這要怎麼分？
村人提出一個聰明的辦法：
「借」來 1 隻駱駝，暫時變成 18 隻 再分。
結果如下：
長子：18 ÷ 2 ＝ 9 隻
次子：18 ÷ 3 ＝ 6 隻
幼子：18 ÷ 9 ＝ 2 隻
相加後：9 ＋ 6 ＋ 2 ＝ 17 隻
剛好分完，還多出一隻可以「還回去」。
三人共乘
從車站到老家，一趟計程車車資 200 元。
有位乘客心想：
「我自己要花 200 元，何不找幾個人一起坐？這樣大家都能省錢。」
於是他找了另外兩個人同行。
在車上聊天才發現三人是老同學，於是爭著要付錢，誰也不肯讓誰。
這時司機開口說：
「不如你們每人各出 100 元。
這樣你們每人都比原本省下 100 元，
而我也能多賺 100 元，
大家都開心，這趟路程更值得！」
三人想了想，一致同意。
這又是一個「加法的思考」：
當每個人都願意多出一點點好意，
整個結果就比原來更好。
#2. 公平思維
Michael Sandel Justice，先分後選
朋友喝咖啡
三個好朋友在咖啡店喝咖啡，結帳時總共是€25，三個人都拿出€10，總共€30.-
吧檯服務員找錢，給了五個一歐元硬幣。
他們決定每人拿回一歐元，然後把剩下的兩歐元當作小費，給吧檯服務員。
說到這裡，有沒有發現什麼問題?
三個人每人都出了€9，總共是€27，加上給了€2小費，總共是€29，不是€30.-
那消失的一歐元跑到哪裡去了?
平分九個餅
甲隨身攜帶了六個餅，乙隨身攜帶了三個餅，他們在半路上遇到一個陌生人。因為大家都很餓，三個人一起平分了九個餅。
陌生人離開的時候，為了答謝他們，留下了九百歐元就走了。 (談判)
這時候，乙認為要平均分，每人分四百五十歐；但甲認為要按餅的數目分，自己得六百歐，乙得三百歐。你覺得呢?
#3. 非線性思維
實務場景 |
傳統線性思維 |
非線性現實 |
實際影響 |
AI 自動化導入 |
投入越多資金 → 效率提升越大 |
初期投資帶來顯著改善，但之後效益遞減，需要優化整體流程 |
強調整合、教育與資料品質，而非單靠技術升級 |
供應鏈優化 |
壓縮每個環節時間都能同等提升效率 |
木桶效應，最慢的一環(瓶頸)決定整體速度 |
需找出瓶頸點而非平均加速 |
物流速度提升 |
以為每增加運輸速度都能成比例地縮短交期 |
越接近極限(例如航空快遞)時，加速的效果越小、成本卻倍增 |
必須計算「臨界點」，避免追求極速導致成本過高 |
行銷投入與客戶轉化率 |
廣告預算翻倍 → 訂單數翻倍 |
在飽和市場中，額外投入的邊際轉化率極低 |
應聚焦於市場策略調整與客戶體驗 |
加速開車
從基隆開車到新竹大約是100公里。
小王的速度從80公里/小時增加到110公里/小時，
小李的速度從110公里/小時增加到140公里/小時，
小王和小李同樣從基隆開車到新竹，不考慮其他因素，只針對速度增加以後節省的時間。
問，誰節省了更多時間?
基隆新竹100,00公里
基隆新竹 |
100,00 |
公里 |
|
速度 Km/Hr |
幾小時可到 |
節省幾小時 |
節省幾分鐘 |
80 |
1,25 |
|
|
110 |
0,91 |
0,34 |
20,45 |
140 |
0,71 |
0,19 |
11,69 |
170 |
0,59 |
0,12 |
7,20 |
張三換新車
張三換了一輛新車，新車比較省油，從原本的10公里/公升增加到20公里/公升。
李四也換了一輛新車，新車也比較省油，從原本的20公里/公升增加到50公里/公升。
問:
張三和李四同樣開了1.000公里行程，誰的新車比舊車省得更多汽油?
每行駛 |
1.000,00 |
公里 |
|
公里/公升 |
目前耗油量 |
未來耗油量 |
節省幾公升 |
從10到20 |
100,00 |
50,00 |
50,00 |
從20到50 |
50,00 |
20,00 |
30,00 |
從50到100 |
20,00 |
10,00 |
10,00 |
A 線性變化， B 非線性變化 問題範例
題型 1：上傳速度 vs 上傳所需時間
案例：
檔案大小固定為 1 GB (= 1024 MB)
使用者甲從 5 Mbps 增加到 10 Mbps
使用者乙從 50 Mbps 增加到 55 Mbps 誰節省更多上傳時間？
計算：
時間 = 檔案大小 ÷ 速度
甲：
原時間 = 1024 ÷ 5 = 204.8 秒
新時間 = 1024 ÷ 10 = 102.4 秒
節省 = 102.4 秒
乙：
原時間 = 1024 ÷ 50 = 20.48 秒
新時間 = 1024 ÷ 55 ≈ 18.62 秒
節省 ≈ 1.86 秒
結論：速度都增加 5 Mbps，但低速區段 (甲)節省時間遠遠大於高速區段 (乙)。
題型 2：水龍頭流量 vs 裝滿水的時間
案例：
水桶容量固定為 100 公升
小華的水龍頭從 5 L/min 提升至 10 L/min
小美的水龍頭從 40 L/min 提升至 45 L/min 誰裝水時間減少得更多？
計算：
時間 = 100 ÷ 流速
小華：
原：100 ÷ 5 = 20 分鐘
新：100 ÷ 10 = 10 分鐘
節省：10 分鐘
小美：
原：100 ÷ 40 = 2.5 分鐘
新：100 ÷ 45 ≈ 2.22 分鐘
節省：約 0.28 分鐘
結論：低速區段的改善，對結果的影響更顯著 (非線性現象)。
題型 3：鏡頭快門速度 vs 曝光時間
假設要進行長曝光拍攝
曝光量固定
快門從 1/50 s 提高到 1/100 s (甲)
或從 1/500 s 提高到 1/450 s (乙)
哪一個改變對整體曝光時間影響較大？
(結論一樣：快的變更 → 效果小；慢的變更 → 效果大)
題型 4：跑步速度 vs 跑完全程的時間
這就是你之前問的基隆到新竹問題。
再舉一個小例：
距離：10 km
甲：從 6 km/h 提升到 8 km/h → 原 100 分 → 新 75 分 → 節省 25 分
乙：從 15 km/h 提升到 17 km/h → 原 40 分 → 新 35.3 分 → 節省 4.7 分
題型 5：影片播放速度 vs 所需觀看時間
影片長度：60 分鐘
甲：從 1x 倍速 → 1.25x → 時間 60 → 48 分鐘 → 節省 12 分鐘
乙：從 2x 倍速 → 2.25x → 時間 30 → 26.7 分鐘 → 節省 3.3 分鐘
總結：這些題目背後原理都類似
類型 |
增加量 A 是線性 |
結果變化 B 是非線性 (反比) |
速度 ↑ |
路程不變，時間 ↓ |
時間變化幅度隨速度而非線性遞減 |
流速 ↑ |
容量不變，裝滿時間 ↓ |
時間下降速度越來越慢 |
上傳頻寬 ↑ |
檔案不變，上傳時間 ↓ |
同樣頻寬增加，越後期越沒效 |
倍速 ↑ |
影片長度不變，觀看時間 ↓ |
同樣倍速增加，高速區節省幅度變小 |
#4. 設局: 鐵桿足球迷 小李
小李是個鐵桿足球迷。某天，他收到一封神秘郵件，內容只有一句話：
「10 月 12 日——A 隊獲勝。」
比賽後，A 隊真的贏了。他雖覺得奇怪，卻沒多想。
接下來幾週，他陸續收到多場比賽的預測郵件，結果全都命中。連續九次的準確讓他深信這家公司掌握內幕，是名副其實的「足球先知」。
第十週，郵件寫道：
「想知道決賽結果嗎？請先支付 250 美元。」
小李心想：連中九次的機率幾乎只有 1/7000，這次一定也不會錯。於是他付款下注，結果血本無歸。
解答：
這是典型的機率騙局。
- 詐騙公司寄出 100 萬封郵件：一半說「A 隊會贏」，另一半說「B 隊會贏」。
→ 無論結果如何，都有 50 萬人以為預測準確。 - 之後只寄信給「上次被說中」的人，再次對半拆分。
→ 第二週 25 萬人覺得準，第三週 12.5 萬人，以此類推。 - 到第九週，約剩 1,953 人連續九次收到「準確預測」，誤以為奇蹟發生。
事實上，這只是大數法則下的篩選效果。有人必然成為「幸運樣本」，卻以為自己被選中。這正是賭徒謬誤：小李把過去的連續命中誤當成未來的保證，最終落入陷阱。
#5. 費米估算
在商業上使用物理學家Fermi問題 (Fermi Problems) : 從市場規模、產業競爭、到企業資源 (人力+財力+物力)的有效運用
美國亞利桑那州立大學 (Arizona State University)的理論物理學家勞倫斯．克勞斯 (Lawrence M. Krauss)曾經在他一九九四年所出版的「物理，我怕怕！《Fear of Physics》」這本書中問到，如果大家在沒有去過芝加哥的前提下，我們應該如何估計芝加哥這個大都會區，會有多少位鋼琴調音師?
首先，芝加哥是個大都會，人口有400萬。
其次，假設每戶家庭平均有4人，所以芝加哥約有100萬個家庭。
第三，想像一下自己認識的朋友，多少人家中有鋼琴，假設10%，所以，大約有10萬架鋼琴定期或不定期需要調音。
第四，同時假設調音頻次為一年一次，假設每次費用大概在75–100美元。一位專職的鋼琴調音師，每天需調2架鋼琴才能養活自己，因此每週約10架，每年約500架。
最後，將10萬除上500，就可以得到約200位鋼琴調音師的答案。而最後，真實的答案大概落在150位左右。
以下是Fermi問題在商業上幾種常見的應用：
1. 市場規模估算
公司在進入新市場或推出新產品時，常常需要快速估算市場的大小。例如，一家新創公司可能會使用Fermi問題來估算特定市場中潛在的消費者數量，或者某產品可能達到的銷售額。這可以幫助企業快速做出進一步的市場調查決策。
範例：
估算某個科學城每月使用外送咖啡服務的消費者數量。
為了估算這個數字，我們可以將問題分解為以下幾個因素：
(1)科學城人口數： 假設這個科學城的人口是 1,000,000 人。
(2)會喝咖啡的比例： 假設約 70% 的成人會喝咖啡，而科學城中有 75% 的人是成年人。這意味著有 1,000,000 × 0.75 × 0.7 = 525,000 人喝咖啡。
(3)使用外送咖啡服務的比例： 假設有 10% 的咖啡飲用者會選擇使用外送服務。這意味著 525,000 × 0.1 = 52,500 人會使用外送咖啡服務。
(4)每位使用者的訂購頻率： 假設每個月平均每個外送咖啡使用者訂購 5 次。這意味著市場中的咖啡訂單總數約為 52,500 × 5 = 262,500 次訂單/月。
企業可以根據這樣的市場規模估算，來決定是否擴展外送咖啡業務，或者進一步進行更詳細的市場調查和分析。
2. 競爭分析
Fermi問題還可以用來進行競爭對手分析。例如，公司可以通過Fermi問題來大致估算競爭對手的市場份額、產品銷量或營收，以便更好地制定競爭策略。
範例：
估算競爭對手公司在某個城市的年度營收。
我們將這個問題分解成可以估算的小步驟：
(1)市場總規模 (人口數)： 假設這個市場的總人口數為 1,000,000 人。競爭對手的市場佔有率： 假設競爭對手在這個市場中的佔有率為 10%。這意味著競爭對手的潛在客戶數量為 1,000,000 × 0.10 = 100,000 人。
(2)每位客戶的平均年度消費： 假設每位客戶每年的平均消費為 200 美元。這可以基於行業的平均消費額來推測。
(3)競爭對手的年度營收可以通過將潛在客戶數量與每位客戶的平均年度消費相乘來估算：100,000 位客戶× 200美元/客戶年= 20,000,000美元/年，我們估算出競爭對手在該市場中的年度營收約為 20,000,000 美元。
這個估算可以幫助公司快速瞭解競爭對手在某個特定市場的規模，進而制定市場策略或預測競爭行為。公司可以根據這樣的估算，進一步計畫如何爭取更多的市場佔有率或調整產品定位
3. 人力資源規劃
當公司計畫擴展業務或進行項目時，Fermi問題可以幫助他們估算所需的人力資源。
範例：估算一家公司需要多少名軟體工程師來完成一個6個月內開發完的新軟體專案。
要估算所需的工程師數量，我們需要考慮以下幾個因素：
(1)軟體專案的總開發工時： 假設這個軟體項目中包含約 10 個主要功能模塊。每個功能模塊大概需要 400 小時來完成，包括設計、編碼、測試和調整。所以，總開發工時約為 10 × 400 = 4,000 小時。
(2)每位元元工程師每週的工作時數： 假設每位元元工程師每週工作 40 小時。
(3)項目的總週數： 項目期限為 6 個月 (假設每個月有 4 週)，所以項目有 6 × 4 = 24 週的時間來完成。
(4)假設每位元元工程師在 24 週內能工作40 小時。24週x 40 小時 = 960 小時/人，所需的工程師數量： 4000 總工時 / 960 小時/人 ≈ 4.17人，我們估算出該公司大約需要 4 至 5 名工程師 來在 6 個月內完成這個軟體專案。
此估算可以幫助公司瞭解項目所需的基本人力資源數量，並且作為後續更詳細規劃的基礎。例如，若考慮到休假、病假或非開發工作，公司可以選擇增加人手或延長開發時間。
4. 財務估算
在預算編制和財務規劃中，Fermi問題也可以幫助快速估算可能的收入、成本和利潤。
範例：估算一家線上訂閱平臺的年度營收。
要估算年度營收，我們需要考慮以下幾個因素：
(1)潛在市場規模： 假設平臺針對的市場有 1,000,000 人，這可以代表某個特定國家的潛在客戶數。
(2)轉化率： 假設平臺的轉化率為 5%，也就是有 5% 的潛在客戶會訂閱這個平臺。這意味著 1,000,000 × 0.05 = 50,000 人會成為訂閱者。
(3)訂閱的平均價格： 假設每位訂閱者每月支付 10 美元的訂閱費用。
(4)年度訂閱時間及貢獻： 假設每位訂閱者平均在一年中持續訂閱 10 個月 (考慮到流失率或取消訂閱的可能性)。每位訂閱者的年度收入： 每位訂閱者每月支付 10 美元，並且每年訂閱 10 個月。因此，每位訂閱者每年的貢獻為： 10 美元/月× 10 月= 100美元/年
(5)總年度營收： 訂閱者總數 50,000 人。因此，公司的總年度營收為： 50,000人× 100美元/人年= 5,000,000美元/年
這種估算可以幫助公司在產品發布或商業決策前，快速估算潛在的收入，並為進一步的財務規劃和商業決策提供參考。
5. 供應鏈與物流優化
Fermi問題也可以用來在供應鏈管理中快速估算所需的資源。
範例：估算一家電商公司每天需要多少車輛來滿足當地城市的訂單配送需求。
要估算車輛數量，我們需要考慮以下幾個因素：
(1)城市人口數： 假設這個城市的人口是 500,000 人。
(2)市場滲透率： 假設約 5% 的人是該電商公司的客戶。這意味著 500,000 × 0.05 = 25,000 人是潛在的訂單客戶。
(3)平均訂單頻率： 假設每位客戶平均每週下 1 次訂單，這相當於每天有 25,000 ÷ 7 ≈ 3,570 個訂單需要配送。
(4)每輛車每天能配送的訂單數量： 假設每輛配送車每天可以配送 50 個訂單。這個數字可以基於配送範圍、交通狀況以及每單配送時間來估算。要滿足每天的訂單數量，我們可以將每日訂單數除以每輛車每天能配送的訂單數量：3,570 / 50 = 72 (71.4) 輛車
此範例展示了如何利用 Fermi 問題來進行快速估算，並為供應鏈和物流管理提供一個大致的參考值。
#6. 藥廠檢測重量
藥廠進口十批原料藥(每公斤價值 USD 1,000)，每批的箱數不同。
每箱重 10 公斤，內含 50 瓶，每瓶重 200 公克。
工廠通知：其中一批的每瓶都少了 2 公克。
海關規定：只能秤一次重量，要找出是哪一批有問題。
為了方便操作，藥廠不需要打開箱子。
解決步驟：
- 標號：
把十批依序編號為第 1 批到第 10 批。 - 取樣方法：
從第 i 批取出 i 箱(第 1 批取 1 箱、第 2 批取 2 箱……第 10 批取 10 箱)。
共取出 55 箱。 - 秤重：
一次把這 55 箱放上磅秤，量出實際重量 R(公克)。
理論上，這 55 箱應該重 550,000 公克(55 箱 × 每箱 10,000 公克)。
範例：
假設秤出實際重量 R = 549,400 公克，
那麼差值 S = 550,000 − 549,400 = 600 公克。
→ 用公式算出 i = 600 ÷ 100 = 6。
結論：第六批的原料藥有問題。
- 計算方式：
用公式 S = 550,000 − R 求出少掉的重量。
由於每瓶少 2 公克、每箱有 50 瓶 → 每箱少 100 公克。
而第 i 批取了 i 箱，因此：
S = 100 × i - 找出問題批號：
用公式 i = S ÷ 100 就能知道是哪一批出問題。
#7. 數學:增加流量
要增加公司網站流量，以下哪種方法更為困難？
A. 將網站在某關鍵字搜索結果中的排序從第二十提升到第四。
B. 將網站在某關鍵字搜索結果中的排序從第四提升到第三。
輸入A線性增加，但結果B非線性變化
一、學習與成果：
A：每天投入的學習時間是線性增加的 (每天多讀1小時)
B：理解力、考試分數或技能進步不是線性增加的
📉 原因：
學習有遞減報酬效應
理解需要「頓悟」、非連續性突破 (非線性曲線)
🏃 二、運動與健康：
A：每週跑步距離每週增加 2 公里
B：體能提升 / 體重下降的幅度非線性
📉 原因：
初期進步快 (新手紅利)，後期進展變慢
身體會適應 → 進步呈現「S型曲線」
📱 三、社群媒體粉絲數與觸及率：
A：粉絲人數每天穩定增加
B：每則貼文的觸及、互動率可能忽高忽低，甚至下降
📉 原因：
演算法推薦非線性
粉絲增長不代表內容參與度同步增長 (即「粉絲品質」)
📈 四、價格 vs. 顧客反應：
A：商品價格每次只漲 $1
B：顧客流失可能突然暴跌
📉 原因：
消費者有心理價格臨界點
超過某點就「放棄購買」——這是非線性反應
🧬 五、藥量 vs. 效果：
A：藥物劑量每次增加一點
B：藥效可能變強 → 持平 → 反效果 (副作用)
📉 原因：
人體代謝有飽和與過量反應
很多生理反應是鐘形曲線或倒U型曲線
六、輸入資訊 vs. 做出決策的品質：
A：你閱讀的報告或分析篇數逐日增加
B：你的決策品質卻可能下降
📉 原因：
出現「資訊過載」效應，導致混亂、拖延、焦慮
非線性轉折點：適量資訊幫助，過多資訊反傷判斷
🛠 七、生產線人力增加 vs. 整體效率：
A：增加的員工數是線性的
B：實際產能提升可能飽和，甚至倒退
📉 原因：
空間、機器、協調成本產生瓶頸
典型非線性系統擁擠效應
總結：這些例子顯示：
A 是線性變化 |
B 卻是非線性回應 |
常見類型 |
學習時間 |
成績 / 理解 / 技能 |
頓悟點 / 累積效應 |
運動次數 |
體能 / 體重變化 |
S型成長 / 適應遞減 |
藥量 |
效果 / 副作用 |
鐘形 / 臨界點 / 毒性 |
價格上漲 |
顧客流失率 |
行為臨界點 / 非線性拒絕 |
員工增加 |
效率 / 產能 |
擁擠效應 / 管理極限 |
粉絲數增加 |
觸及率 / 參與度 |
平台演算法 / 關注疲勞 |
#8 老張送禮
老張要給朋友的兩個孩子買禮物。他只記得其中一個孩子是男孩，但忘了另一個孩子的性別。這讓他很苦惱：如果另一個孩子是女孩，送「無敵金剛」玩偶可能不合適；如果是男孩，送「芭比娃娃」也不妥。
那麼，另一個孩子更可能是男孩還是女孩呢？
解答
對於一個有兩個孩子的家庭，理論上有四種性別組合(從小到大排列)：
- 女孩 — 女孩
- 女孩 — 男孩
- 男孩 — 女孩
- 男孩 — 男孩
既然老張已知朋友的兩個孩子中 至少有一個是男孩，那麼「女孩 — 女孩」的情況4就被排除。只剩下1-3三種可能：
因此，老張朋友的孩子最可能的情況是 一男一女，概率為 2/3。兩個都是男孩的概率只有 1/3。
#9 賭徒謬誤
賭徒謬誤是指誤認為概率一定的事件發生的概率會根據最近發生的次數增加或減少。以拋硬幣為例就能輕鬆解釋這一點。
一枚硬幣連續拋出6次正面朝上的概率是1/64。因此，賭徒可能會認為，如果硬幣連續拋出5次正面朝上，那麼下一次還是正面朝上的概率是1/64。這是錯誤的。根據定義，硬幣拋出正面朝上的概率始終是1/2。硬幣可不記得之前發生過什麼事，連續拋出5次正面朝上並不會影響將來拋出正面朝上的概率。(沒有作弊的)輪盤賭也是一樣。德法羅認為連續轉出某種顏色會影響接下來發生的事，這完全是誤解。
出於相關理由，他方法的第二部分同樣存在缺陷。每次輸掉就加倍下注，只要一次押中就能彌補之前所有損失，還能小賺一筆，這就是所謂的“虧損加倉”。理論上說，這麼做是合理的。但問題在於，為了彌補輸掉的錢，所需的賭注金額將呈指數增長，運用這種策略的賭徒不免會破產。德法羅最後會痛苦地發現，輪盤連續4次轉出紅色並不會降低下次還轉出紅色的概率。
#10 網球淘汰賽
安娜去看一場網球淘汰賽。這種比賽的規則很簡單：
- 每個球員只要輸掉一場比賽，就會被淘汰出局。
- 最後只會剩下一名冠軍。
安娜數了數，一共進行了 31 場比賽。
她開始思考：這次比賽裡，總共有多少名球員參加呢？
解答
- 在淘汰賽裡，每場比賽必定會淘汰 1 名球員。
- 如果最後有 1 名冠軍留下，那麼其他所有球員都在某場比賽中被淘汰。
因此：
- 淘汰了 31 名球員，就需要 31 場比賽。
- 加上最後留下的冠軍，參賽球員總數 = 31 + 1 = 32 人。
共有 32 名球員參加比賽。
#商務數學
一、商務世界的數學不是算式，而是策略
在國際貿易中，數學不是學術科目，而是做決策的工具。
報價、匯率、運費、關稅、利潤、風險──每一項都在用數學說話。
懂數學的貿易人，不只是會算，而是能用數字說故事，用邏輯看世界。
二、貿易人的三個「生存運算」
1. 利潤分析：毛利不是賺錢的全部
貿易的第一道數學題，就是利潤。
基本公式：
毛利 = 銷售價格 – 進貨成本 – 運費 – 關稅 – 保險費
但真正的分析要更深入：
若匯率變動 3%，利潤還剩多少？
若運費上漲 20%，哪個市場還有利可圖？
若改採海運轉空運，交期與獲利如何取捨？
數學的重點不是結果，而是推導出的選擇。
2. 匯率與價格策略：會換算才叫國際人
匯率波動是國際商務的無形風險。
例如：
合約簽訂時為 1 美元 = 32 元，收款時升值為 30 元，
意味著利潤自動縮水 6.25%。
若使用「避險(Hedging)」策略，可鎖定匯率風險。
關鍵思考：
匯率不只是金融問題，而是報價策略的一部分。
懂得用數學預測波動，就能控制報價節奏，
讓價格既具競爭力，又不犧牲利潤。
3. 機會成本：看得見的賺錢，可能是虧的開始
機會成本是商務數學的靈魂。
例：你有一個 10 萬美元的訂單，毛利 5%，
但若同樣資金投入另一市場可賺 8%，
代表「放棄的那 3%」才是真正的損失。
懂機會成本，就不會被眼前的數字迷惑。
每一個貿易決策，其實都是在計算「時間、資金與風險的交換率」。
三、數據思維：從表格看到趨勢
現代貿易人不僅要會算，還要懂「看數據」。
數據分析不只是統計，而是找出「模式」。
銷售分析：哪個國家訂單毛利最高？哪個月退貨率最高？
成本分析：哪些產品的物流佔比超過 15%？
風險分析：匯率波動與客戶延遲付款的關聯？
透過這些分析，企業能進行預測式決策：
不只是回顧過去，而是預測未來。
四、國際商務中最實用的四種數學邏輯
百分比(%)——看清變化
利潤率、成長率、通膨率，全靠它。
例如：出口額年成長 12%，若成本上漲 10%，實質成長只有 2%。
比率(Ratio)——衡量效率
貿易人應熟悉「存貨週轉率、應收帳款週轉率」等指標，
它們決定了企業的現金流是否健康。
加權平均(Weighted Average)——找到真正的重心
不同市場毛利不同時，要看「整體平均利潤」而非單一訂單。
這有助於了解公司在哪個區域應該加碼或縮減投資。
期望值(Expected Value)——衡量風險回報
在不確定情境中(如投標或開發新市場)，
用期望值判斷：「風險值得嗎？」
若一筆 20% 機率成功、可獲利 50% 的專案，
期望值 = 0.2 × 0.5 = 0.1，即潛在報酬 10%。
這是最實用的「決策數學」。
五、用數學說服：從報價到董事會
在國際談判或內部決策中，
數學是最有說服力的語言。
例如：
用「成本–效益比」說服上級採用新航線。
用「回收期(Payback Period)」評估投資方案。
用「敏感度分析」向客戶解釋報價結構。
當你能用一張表說出「為什麼這樣最划算」，
對方就不只是聽你講，而是被邏輯說服。
六、台灣企業的挑戰與機會
挑戰：
多數貿易人才仍以經驗為主導，缺乏數據分析思維。
缺乏將財務數字轉化為策略決策的能力。
機會：
台灣的中小企業靈活、數據掌握度高。
若能結合 AI、BI 工具與商業數學思維，
將能快速從「代工」轉向「決策型企業」。
七、結語
數學是國際貿易的「無聲語言」。
它讓你看懂市場的脈動、評估風險、計算機會，
並用理性邏輯支撐商業直覺。
#數學直覺陷阱練習講義
一、組織建議：建立「數學直覺錯誤類型」思維導圖
你可以將這些題目分類整理成以下結構來製作導圖 (或教學地圖)：
【主幹】直覺陷阱類型
指數誤解：成長速度不是線性 (如荷葉問題)
比例錯覺：混合與交換的非對稱思維 (如水與酒)
機率謬誤：忽略基礎機率，直覺地認為高準確率 = 高確定性 (如醫學檢測)
【分支】每個類型下可以放：
題目 (選項、正解)
常見錯誤邏輯
正確的數學解法
關聯數學概念 (如速率相加、貝式定理)
題目 1：指數增長陷阱 (荷葉問題)
一個池塘裡有一片荷葉，荷葉每天會增長一倍。如果第 30 天荷葉鋪滿了整個池塘，請問荷葉在哪一天鋪滿池塘的一半？
A. 第 10 天
B. 第 15 天
C. 第 25 天
D. 第 29 天
答案：D. 第 29 天
解析：
這是典型的指數增長問題，我們的直覺常常用線性思考。既然荷葉每天增長一倍，那麼在鋪滿池塘 (第 30 天)的前一天 (第 29 天)，荷葉的面積自然就是池塘的一半。
題目 2：比例混合陷阱
有兩個完全相同的杯子，A 杯裝滿了 100 毫升的水，B 杯裝滿了 100 毫升的酒。
步驟一：從 B 杯 (酒)舀一茶匙 (假設 5 毫升)倒入 A 杯 (水)並混合均勻。
步驟二：從 A 杯 (混合液)舀一茶匙 (5 毫升)倒回 B 杯。
請問，此時是 A 杯裡含的酒比較多，還是 B 杯裡含的水比較多？
A. A 杯裡的酒比較多
B. B 杯裡的水比較多
C. 一樣多
D. 無法確定
答案：C. 一樣多
解析：
這個問題直覺上會覺得很難算或覺得某一杯的「污染」比較嚴重。但我們可以這樣想：
操作完成後，A 杯總量還是 100 毫升，B 杯總量也是 100 毫升。
假設最終 A 杯裡有 X 毫升的酒。那麼 A 杯裡必然有 (100 - X) 毫升的水。
由於一開始 A 杯有 100 毫升水，現在只剩 (100 - X) 毫升，表示有 X 毫升的水被移出了 A 杯。
這些被移出的 X 毫升水，唯一能去的地方就是 B 杯。
所以，A 杯裡酒的量 (X 毫升)正好等於 B 杯裡水的量 (X 毫升)。
題目 3：基礎概率謬誤 (醫學檢測問題)
假設有一種罕見疾病，人群中的發病率是千分之一 (1/1000)。
現在有一種檢測方法，其準確率為 99% (即：若有病，99%會檢測為陽性；若沒病，99%會檢測為陰性)。
如果你隨機接受檢測，結果為陽性，那麼你實際患有該疾病的概率大約是多少？
A. 99%
B. 約 90%
C. 約 50%
D. 約 9%
答案：D. 約 9%
解析：
直覺會認為既然檢測準確率是 99%，那麼測出陽性就幾乎等於有病。但必須考慮「基礎發病率」極低。
想像有 100,000 人接受檢測：
實際有病的人：100,000 (1/1000) = 100 人
檢測為陽性 (真陽性)：100 99% = 99 人
檢測為陰性 (偽陰性)：100 1% = 1 人
實際沒病的人：100,000 (999/1000) = 99,900 人
檢測為陰性 (真陰性)：99,900 99% ≈ 98,901 人
檢測為陽性 (偽陽性)：99,900 1% ≈ 999 人
所有檢測為陽性的人數 = 真陽性 + 偽陽性 = 99 + 999 = 1098 人。
在這些檢測為陽性的人中，真正有病的比例 = 真陽性 / (所有陽性) = 99 / 1098 ≈ 0.09016...
所以，即使檢測結果為陽性，實際患病的概率大約只有 9%。這是因為沒病的人基數遠大於有病的人，即使只有 1% 的偽陽性率，也會產生大量的偽陽性結果。
這些例子展示了在不同情境下，我們的直覺判斷可能如何偏離數學或邏輯的實際結果。
題目 4：平均速度陷阱小美從A地騎腳踏車到B地，全程共60公里。她去程以 30 公里/小時 的速度前進。她回程想讓整個行程的平均速度為 40 公里/小時。請問她回程應該要用多少速度騎車？
答案：不可能達成。解析：去程時間 = 60 ÷ 30 = 2 小時。若平均速度要 40 km/h，總時間應為 120 ÷ 40 = 3 小時，那回程時間只能用 1 小時完成，但60公里要在1小時完成需要時速 60 km/h，這超出設定邏輯，等於超人，代表「平均速度 40 km/h」不可能達成。
題目 5：省油迷思 II以下哪一組車的升級省下更多油？ (假設都開 1,000 公里)🅰️ 從 5 ➜ 10 公里/公升🅱️ 從 20 ➜ 40 公里/公升
答案：🅰️解析：🅰️：舊車耗油 1000/5 = 200 L，新車耗油 1000/10 = 100 L，省下 100 L🅱️：舊車耗油 1000/20 = 50 L，新車耗油 1000/40 = 25 L，省下 25 L結論：雖然數字上看 🅱️ 的改善幅度大，但實際省油量 🅰️ 更大。
題目 6：生日悖論一班有 23 人，請問至少有兩人生日相同的機率約是多少？
A. 不到10% B. 約25% C. 超過50% D. 接近100%
答案：C. 超過 50%解析：這是生日悖論。實際上，當有 23 人時，任兩人生日不同的機率為約 49.3%，所以至少兩人生日相同的機率是 1 - 0.493 = 50.7%。
題目 7：概率迷思 (蒙提霍爾問題)你參加節目，面前有三扇門，其中一扇後有獎品。你選一扇後，主持人打開一扇空門並問你要不要換門。請問換門是否更有勝率？
答案：是，應該換門，勝率從 1/3 提升為 2/3。解析：原本選中獎品機率為 1/3，主持人行為提供額外資訊。若你換門，實際上等於賭主持人沒揭開獎品門，有 2/3 機率中獎。
題目 8：邏輯對換陷阱「如果今天下雨，我就會帶傘。」請問下列哪句話邏輯等價？
A. 如果我沒帶傘，那今天沒下雨
B. 如果我帶傘，那今天有下雨
C. 如果今天沒下雨，那我沒帶傘
D. 以上皆非
答案：D. 以上皆非。解析：原句是「如果P，則Q」，其邏輯對換是「如果非Q，則非P」，也就是「如果我沒帶傘，那今天沒下雨」才對，這是選項A。
嚴格來說，沒有任何選項是完全與原句邏輯等價的，選項 A 只是邏輯對換，語言上看似逆否命題，但 邏輯結構未必等價。
#國際商務決策與分析(數學)
數學在國際商務決策與分析中的應用，讓你看到它如何從「抽象工具」變成「實際決策利器」。
1. 為什麼數學在國際商務重要？
國際商務牽涉 匯率、關稅、運費、供應鏈成本、風險管理 等複雜變數。
數學提供了：
量化：把模糊的直覺轉化成數字。
比較：幫助不同方案之間做最佳化選擇。
預測：利用數據模型推測未來走勢。
2. 數學應用的核心領域
(1) 財務與匯率計算
匯率轉換公式：判斷美元、歐元、台幣之間的匯率變動對利潤的影響。
利潤計算：利潤 = 售價 × 匯率 – 成本 – 關稅 – 運費。
應用：出口商可以計算不同結算貨幣下的盈虧差異。
(2) 最佳化 (Optimization)
線性規劃：決定要在哪些國家設廠、倉儲，以最小化物流成本。
運輸模型：計算最佳的配送路線，避免空櫃或船期浪費。
應用：跨國公司用最佳化模型選擇亞洲區域樞紐港口(新加坡 vs 香港 vs 高雄)。
(3) 統計與預測
時間序列分析：預測商品需求、季節性波動。
回歸分析：研究哪些因素(價格、關稅、消費者收入)影響出口量。
應用：用 ARIMA 模型預測美國對台灣電子產品的進口需求。
(4) 風險管理 (Risk Analysis)
機率計算：估算延誤、壞帳、匯率崩跌的風險。
蒙地卡羅模擬：模擬多種貿易情境，幫助決策者評估最壞與最好的結果。
應用：銀行在開信用狀(L/C)時，用風險模型評估買家的違約概率。
(5) 博弈論 (Game Theory)
分析不同國家或企業在談判中的策略。
應用：出口商與進口商談判 FOB 或 CIF 條款時，可以用「囚徒困境」模型理解雙方行為。
(6) 商業智慧 (BI) 與 AI 數學基礎
機器學習依賴統計、矩陣運算、最佳化演算法。
應用：用數學模型建立 AI，幫助企業在國際市場中進行智慧決策。
3. 實際案例
假設一家台灣紡織公司出口到歐洲：
匯率分析：若歐元升值 5%，用數學公式計算利潤會增加多少。
最佳化模型：計算從高雄出口 vs 從上海出口，哪個運輸成本最低。
需求預測：用統計模型預測冬季 vs 夏季的布料需求。
風險模擬：透過蒙地卡羅模擬，預測紅海危機導致航運延誤的可能性。
總結
數學在國際商務決策與分析中，主要提供：
精確計算(匯率、利潤、關稅)
最佳化選擇(物流、投資、布局)
預測能力(需求、市場、匯率波動)
風險管理(不確定性下的決策)
策略分析(談判與競爭行為)
簡單說：數學讓國際商務從「經驗直覺」變成「數據驅動」的決策模式。